想到这里。
徐云不由深吸一口气，心中有了决断。
虽然叶笃正的情况并不在他的预料之中，爱德华·诺顿·洛伦茨这人和徐云也没啥矛盾。
但这种送上门的好事儿，哪有往外推脱之理？
于是徐云沉吟片刻，很快对叶笃正说道：
“叶主任，不瞒你说，您讲的这个情况，其实风灵月影社团内也有人思考过。”
“对了，叶主任，不知道你听没听说过印度舍罕王的宰相西萨.班.达依尔数麦粒的故事？”
叶笃正眨了眨眼，很快给出了答案：
“当然听说过。”
舍罕王赏麦。
这算是一个很有名的数学典故。
上辈子是国际象棋的同学应该都知道。
传说国际象棋的发明者是古印度的宰相西萨·班·达依尔，那时的国王是舍罕，世人称为舍罕王。
舍罕王对于国际象棋非常喜爱，便询问达依尔需要得到什么赏赐。
达依尔则留下了一句传世经典的话：
【请您在棋盘的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子放8粒……即每一个次序在后的格子上放的麦粒必须是前一个格子麦粒数的倍数，直到最后一个格子即第64格放满为止，这样我就十分满足了】。
舍罕王同意了这个要求，但最后他才发现如果按照达依尔的算法，他得要支付整个王国往后2000年的麦粒才行……
随后徐云顿了顿，对叶笃正说道：
“当然了，这个故事的真假我们无从分辨，不过却从中可以看出一个道理。”
“那就是如果一个动力学系统的初始条件中有一个微小误差δz0，那么在它的演化过程中，这个偏差在时间t内变化出现一个演化函数。”
说罢。
徐云有些费力的拿起笔，写下了一个函数：
|δz（t）|－|δz0|eλt。
接着徐云在λ下方画了条横，继续说道：
“这个λ我称之为李雅普诺夫指数，它表征了敏感程度。”（注：李雅普诺夫是19世纪的人，但李雅普诺夫指数要在混沌系统建立后才会提出）
“如果它是负数，我们会发现初始偏差会在演化过程中被不断抹平——这代表它对初始条件不敏感，反之则极其敏感。”
“而在一般动力学系统中呢，其演化总是可以被这样一个微分方程来描述，也就是d／dtx=f（x）……”
看着徐云洋洋洒洒写下的这些内容。
从兴趣小组离开后便一直【0v0】的乔彩虹忍不住挠了挠头发。
哎呀。
头有点痒，好像要长脑子了……
其实吧。
徐云向叶笃正描述的内容，正是后世知名度很广的反馈系统和指数发散。
这也是为数不多的混沌系统在概念上的数学切入点。
当然了。
后世还有一些曼德布洛特集和多分形图案等等，但这些都需要计算机进行辅助。
过了片刻。
看着徐云写出来的内容，叶笃正眼中隐隐闪过了一丝明悟：
“……我好像有些明白了，韩立同志，大气系统的基本原理，其实符合决定论的逻辑？”
“没错。”
徐云闻言，心中微微一松，用力点了点头：
“这个系统并不是在驳斥决定论，而是因为决定论的方程出现了难以预测的现象，才令这个系统值得探究。”
“它是以决定论为基础的理论，用决定论推出了难以预测的结果——这是一个非常重要的概念。”
在徐云来的后世。
有关混沌系统的概念，经常会出现两个误区。
一是认为混沌系统的存在驳斥了可知论或者决定论，和量子不确定性是一个概念。
这其实是一个非常离谱的错误。
混沌系统指的是一定时间内不可知，并不是不确定，它和和决定论本身是不冲突的。
同时混沌理论是纯数学机制，而量子不确定性是物理机制——经典动力学中存在混沌现象，纯量子力学中不存在混沌现象。
更重要的是。
混沌意味着蝴蝶效应和相空间的分形结构，要求是非线性动力学。
量子力学中的确定状态只能在希尔伯特空间中描述，是一种线性状态。
至于第二个误区嘛……
就是混沌系统经常会莫名其妙的和‘哲学’扯上关系，最终越走越远。
比如说着说着就会扯上道家的定义，动不动就是道生一，一生二，二生三，三生万物。
然后末尾给你一个微信，加上去tmd就是推销檀香的……
徐云一直担心叶笃正会误入这两个陷阱，这会导致叶笃正今后出现极其严重的研究壁垒，甚至可能精神上变成李火旺。
因此他从刚开始的时候，便在努力给叶笃正灌输混沌理论是纯数学机制这个概念。
“韩立同志。”
就在徐云给叶笃正解释到差不多之际。
一旁一直没说话的钱一……或者说钱秉穹突然开口了：
“韩立同志，那么照你这样说，我们的世界其实很大部分都是非线性的了？”
“那么如此一来，线性方程和线性规划能解决的问题岂非太少？”
听到钱秉穹这番话。
徐云忍不住看了他一眼。
随后强行按捺住见到大佬的激动，平静的摇了头，解释道：
“钱……额，钱一同志对吧，那倒未必。”
“至少在我看来，线性系统其实是对非线性系统的一种‘最优线性近似’。”
“它保留了非线性系统中那些最重要的定性性质，比如稳定性或者不稳定性，也就是动力系统的拓扑性质。”
“根据微分拓扑的理论来分析，光滑流形上的那些可以被线性近似的非线性系统是通有的。”
说罢。
徐云再次拿起纸和笔，慢慢写了起来。
众所周知。
广义的说。
“线性系统”指的是其解满足线性叠加原理的系统，即：
f（x_1＋x_2＋x_3＋……）=f（x_1）＋f（x_2）＋f（x_3）＋……
这个f不能简单地理解为只是一个可以写成显式的函数形式，而应该看做一个映射。
简而言之。
线性系统对应的也就是线性映射。
而在针对常微分方程动力系统的非线性的研究领域里所指的线性系统的形式则往往是这样的：
frac{dx}{dt}=acdot x其中x=[x1，x2，x3，……]t。
而a是一个常数矩阵，则这是一个线性的常微分动力系统。
与之相区别的非线性系统，则是无法写成以上形式的方程组所表征的系统。
比如有些是二阶、三阶、更高阶的系统，或者说形式上矩阵a中的项跟x的各项有关。
当然了。
非线性系统也包含偏微分方程中的非线性系统。
比如可以形成turing pattern的带有扩散项的系统。
但另一方面。
微分拓扑中的科普卡－斯梅尔定理机制保证了一个稠密性的情况：
局部稳定流形在工作点局部线性化之后。
对应的线性系统会具有稳定子空间es和不稳定子空间eu，它们分别与对应的流形相切。
也就是在一定程度上。
非线性系统可以被近似看做线性系统处理。
“……”
过了一会儿。
钱秉穹消化掉了徐云的想法，又皱着眉头说道：
“但就算如此，韩立同志，也不是所有非线性系统都可以被线性化近似的吧？”
“或者说需要把非线性系统近似成线性，必须要完成很大的计算量？”
“没错。”
徐云不由深吸一口气，心中有了决断。
虽然叶笃正的情况并不在他的预料之中，爱德华·诺顿·洛伦茨这人和徐云也没啥矛盾。
但这种送上门的好事儿，哪有往外推脱之理？
于是徐云沉吟片刻，很快对叶笃正说道：
“叶主任，不瞒你说，您讲的这个情况，其实风灵月影社团内也有人思考过。”
“对了，叶主任，不知道你听没听说过印度舍罕王的宰相西萨.班.达依尔数麦粒的故事？”
叶笃正眨了眨眼，很快给出了答案：
“当然听说过。”
舍罕王赏麦。
这算是一个很有名的数学典故。
上辈子是国际象棋的同学应该都知道。
传说国际象棋的发明者是古印度的宰相西萨·班·达依尔，那时的国王是舍罕，世人称为舍罕王。
舍罕王对于国际象棋非常喜爱，便询问达依尔需要得到什么赏赐。
达依尔则留下了一句传世经典的话：
【请您在棋盘的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子放8粒……即每一个次序在后的格子上放的麦粒必须是前一个格子麦粒数的倍数，直到最后一个格子即第64格放满为止，这样我就十分满足了】。
舍罕王同意了这个要求，但最后他才发现如果按照达依尔的算法，他得要支付整个王国往后2000年的麦粒才行……
随后徐云顿了顿，对叶笃正说道：
“当然了，这个故事的真假我们无从分辨，不过却从中可以看出一个道理。”
“那就是如果一个动力学系统的初始条件中有一个微小误差δz0，那么在它的演化过程中，这个偏差在时间t内变化出现一个演化函数。”
说罢。
徐云有些费力的拿起笔，写下了一个函数：
|δz（t）|－|δz0|eλt。
接着徐云在λ下方画了条横，继续说道：
“这个λ我称之为李雅普诺夫指数，它表征了敏感程度。”（注：李雅普诺夫是19世纪的人，但李雅普诺夫指数要在混沌系统建立后才会提出）
“如果它是负数，我们会发现初始偏差会在演化过程中被不断抹平——这代表它对初始条件不敏感，反之则极其敏感。”
“而在一般动力学系统中呢，其演化总是可以被这样一个微分方程来描述，也就是d／dtx=f（x）……”
看着徐云洋洋洒洒写下的这些内容。
从兴趣小组离开后便一直【0v0】的乔彩虹忍不住挠了挠头发。
哎呀。
头有点痒，好像要长脑子了……
其实吧。
徐云向叶笃正描述的内容，正是后世知名度很广的反馈系统和指数发散。
这也是为数不多的混沌系统在概念上的数学切入点。
当然了。
后世还有一些曼德布洛特集和多分形图案等等，但这些都需要计算机进行辅助。
过了片刻。
看着徐云写出来的内容，叶笃正眼中隐隐闪过了一丝明悟：
“……我好像有些明白了，韩立同志，大气系统的基本原理，其实符合决定论的逻辑？”
“没错。”
徐云闻言，心中微微一松，用力点了点头：
“这个系统并不是在驳斥决定论，而是因为决定论的方程出现了难以预测的现象，才令这个系统值得探究。”
“它是以决定论为基础的理论，用决定论推出了难以预测的结果——这是一个非常重要的概念。”
在徐云来的后世。
有关混沌系统的概念，经常会出现两个误区。
一是认为混沌系统的存在驳斥了可知论或者决定论，和量子不确定性是一个概念。
这其实是一个非常离谱的错误。
混沌系统指的是一定时间内不可知，并不是不确定，它和和决定论本身是不冲突的。
同时混沌理论是纯数学机制，而量子不确定性是物理机制——经典动力学中存在混沌现象，纯量子力学中不存在混沌现象。
更重要的是。
混沌意味着蝴蝶效应和相空间的分形结构，要求是非线性动力学。
量子力学中的确定状态只能在希尔伯特空间中描述，是一种线性状态。
至于第二个误区嘛……
就是混沌系统经常会莫名其妙的和‘哲学’扯上关系，最终越走越远。
比如说着说着就会扯上道家的定义，动不动就是道生一，一生二，二生三，三生万物。
然后末尾给你一个微信，加上去tmd就是推销檀香的……
徐云一直担心叶笃正会误入这两个陷阱，这会导致叶笃正今后出现极其严重的研究壁垒，甚至可能精神上变成李火旺。
因此他从刚开始的时候，便在努力给叶笃正灌输混沌理论是纯数学机制这个概念。
“韩立同志。”
就在徐云给叶笃正解释到差不多之际。
一旁一直没说话的钱一……或者说钱秉穹突然开口了：
“韩立同志，那么照你这样说，我们的世界其实很大部分都是非线性的了？”
“那么如此一来，线性方程和线性规划能解决的问题岂非太少？”
听到钱秉穹这番话。
徐云忍不住看了他一眼。
随后强行按捺住见到大佬的激动，平静的摇了头，解释道：
“钱……额，钱一同志对吧，那倒未必。”
“至少在我看来，线性系统其实是对非线性系统的一种‘最优线性近似’。”
“它保留了非线性系统中那些最重要的定性性质，比如稳定性或者不稳定性，也就是动力系统的拓扑性质。”
“根据微分拓扑的理论来分析，光滑流形上的那些可以被线性近似的非线性系统是通有的。”
说罢。
徐云再次拿起纸和笔，慢慢写了起来。
众所周知。
广义的说。
“线性系统”指的是其解满足线性叠加原理的系统，即：
f（x_1＋x_2＋x_3＋……）=f（x_1）＋f（x_2）＋f（x_3）＋……
这个f不能简单地理解为只是一个可以写成显式的函数形式，而应该看做一个映射。
简而言之。
线性系统对应的也就是线性映射。
而在针对常微分方程动力系统的非线性的研究领域里所指的线性系统的形式则往往是这样的：
frac{dx}{dt}=acdot x其中x=[x1，x2，x3，……]t。
而a是一个常数矩阵，则这是一个线性的常微分动力系统。
与之相区别的非线性系统，则是无法写成以上形式的方程组所表征的系统。
比如有些是二阶、三阶、更高阶的系统，或者说形式上矩阵a中的项跟x的各项有关。
当然了。
非线性系统也包含偏微分方程中的非线性系统。
比如可以形成turing pattern的带有扩散项的系统。
但另一方面。
微分拓扑中的科普卡－斯梅尔定理机制保证了一个稠密性的情况：
局部稳定流形在工作点局部线性化之后。
对应的线性系统会具有稳定子空间es和不稳定子空间eu，它们分别与对应的流形相切。
也就是在一定程度上。
非线性系统可以被近似看做线性系统处理。
“……”
过了一会儿。
钱秉穹消化掉了徐云的想法，又皱着眉头说道：
“但就算如此，韩立同志，也不是所有非线性系统都可以被线性化近似的吧？”
“或者说需要把非线性系统近似成线性，必须要完成很大的计算量？”
“没错。”